Del capitulo 3 de The Haskell Road To Logic, Math and Programming:

sieve :: [Integer] -> [Integer]

sieve (0:xs) = sieve xs

sieve (n : xs) = n : sieve ( mark xs 1 n )

	where

	mark :: [Integer] -> Integer -> Integer -> [Integer]

	mark (y:ys) k m | k == m 	= 0 : (mark ys 1 m)

					| otherwise = y : (mark ys (k+1) m)

LLamando a la función con sieve [2..] , nos retorna los números primos por el método de Criba de Eratosthenes.

Lo interesante es pensar en como la lista infinita que se le paso como parámetro es evaluada por Haskell. Si pensamos desde una perspectiva de programación imperativa, es imposible que una función sea procesada por otra función hasta que no haya terminado su procesamiento, entonces como es posible que sieve devuelva resultados si en este caso mark devuelve una lista infinita. Este es un ejemplo de Lazy Evaluation y una muy buena explicación se puede encontrar acá y con más profundidad acá.

Ejercicio 3.39 de THRTLMP

Agrego este ejercicio porque me gusto y es otro ejemplo de Lazy Evaluation. Se nos pide refutar la afirmación de que si p₁, p₂, … , p_k son todos los números primos menores a n, entonces ( p₁ . p₂ . … . p_k ) + 1 es también primo, para todo n perteneciente a los naturales.

filterMinor :: [Integer] -> Integer -> [Integer]

filterMinor [] _ = []

filterMinor (x:xs) n 	| x >= n	= []

			| otherwise = x : filterMinor(xs) n



proveSTforN :: Integer -> Bool

proveSTforN n = prime (product( filterMinor (sieve [2..]) n ) + 1)



proveST :: Bool

proveST = all (==True) (map proveSTforN [1..])

Y para ver los resultados:

proveSTforNShow :: Integer -> (Integer, Integer, Bool)

proveSTforNShow n = (n, a, prime(a)) 

		where

		a = product( filterMinor (sieve [2..]) n ) + 1



proveSTShow :: [(Integer, Integer, Bool)]

proveSTShow = map proveSTforNShow [2..]

En el ejemplo del capitulo 2.8 de The Haskell Road To Logic, Math and Programming, la formula:

∀x ∈ {1,2,3} ∃y ∈ {1,4,9} x = y²

Se codifica como:

every, some :: [a] -> (a -> Bool) -> Bool
every xs p = all p xs
some xs p = any p xs
every [1,4,9] (\x -> some [1,2,3] (\y -> x = y^2))

Después en el Ej 2.51 se propone definir una función unique :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
que retorne True para unique p xs solo cuando haya un solo elemento de xs que cumpla con p.

La forma obvia de resolverlo es:

unique :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
unique p [] = False
unique p xs = length(filter p xs) == 1

Que se puede testear con:

unique (\x -> x>4) [1,2,3,4,5]
True
unique (\x -> x>4) [1,2,3,4,5,6]
False

Sin embargo es interesante pensarlo en la formula de Russell para Unicidad: ∃x ( Φ(x) ∧ ∀y ( Φ(y) => x=y ) ) . Que se puede hacer como:

unique1 :: (Eq a) => (a -> Bool) -> [a] -> Bool
unique1 p xs = some xs (\x -> p x && every xs (\y -> p y ==> x == y))
unique1 (\x -> x>4) [1,2,3,4,5]
True
unique1 (\x -> x>4) [1,2,3,4,5,6]
False

Lo interesante es que usando expresiones lambda llegamos a una formula que expresa prácticamente idéntica la original.

Tipos y Funciones

:t Muestra el tipo de datos Las funciones son tipos de datos (pensar en definición matematica)

mas2 a = a+2

:t mas2
mas2 :: (Num a) => a -> a

Debe leerse como si a es numérico, entonces, mas2 es una función de a en a. Pensar en f: A -> A Para forzar un tipo, lo declaro al principio:

multiploDe2 :: Int -> Bool
multiploDe2 a = rem a 2 == 0

Funciones con mas de una variable.

multiplo :: (Integral a) => a -> a ->
Boolmultiplo a b = rem a b == 0

Para comprender mejor:

:t multiplo 10
multiplo 10 :: (Integral t) => t -> Bool

(O sea que al llenar la primer variable se retorna una función de el tipo de la segunda variable al tipo de retorno.)

Sintaxis de Funciones

Función definida en diferentes casos:

fibonacci :: Int -> Int
fibonacci a		| a < 1				= error "Indefinida para ese valor"
			| a == 1 || a == 2 		= 1
			| otherwise			= fibonacci (a-1) + fibonacci (a-2)

Otra forma es:

prefix :: String -> String -> Bool
prefix [] ys			= True
prefix (x:xs) []		= False
prefix   (x:xs) (y:ys)		= (x==y) && prefix xs ys

O una combinación

substring :: String -> String -> Bool
substring xs []	= False
substring xs (y:ys)		| prefix xs (y:ys) = True
				| otherwise = substring xs ys

Construcción de Conjuntos a partir de listas

Un ejemplo, el conjunto de los pares. x = 2k; k ∈ N

pares = map (*2) [1..]

Otro ejemplo Primos y compuestos (del libro)

prime :: Integer -> Bool
prime n			| n < 1		= error "not positive integer"
			| n == 1		= False
			| otherwise		= ldp n == n

ldp :: Integer -> Integer
ldp = ldpf primes

ldpf :: [Integer] -> Integer -> Integer
ldpf (p:ps) n				| rem n p == 0			= p
					| p^2 > n 			= n
					| otherwise			= ldpf ps n

primes :: [Integer]
primes = 2 : filter prime [3..]

composite :: Integer -> Bool
composite n = not (prime n)

composites :: [Integer]
composites = 4 : filter composite [5..]

Operadores Infix

(-) 5 3 ≡ 5 - 3
rem 10 3 ≡ 10 `rem` 3

Definición de un operador Infix ( “|” y “/” ya están definidos en prelude por eso use “//” )

divide :: Int -> Int -> Bool
divide a b = rem b a == 0

infix 1 //
(//) :: Int -> Int -> Bool
a // b = divide a b

Funciones auxiliares dentro de funciones

solveQdr :: Float -> Float -> Float -> (Float, Float)
solveQdr a b c		| a == 0		= error "No es Quadratica"
			| d<0			= error "No hay solucion en los Reales"
			| otherwise 		= ( (-b + sqrt d ) / 2*a, (-b - sqrt d ) / 2*a)
					where d = (b^2)-(4*a*c)

Otra opcion (let … in)

solveQdr :: Float -> Float -> Float -> (Float, Float)
solveQdr a b c     = if a == 0 then error "No es Quadratica"
          else let d = b^2 - 4*a*c in
		  if d<0 then error "No hay solucion en los reales"
		  else ( (-b + sqrt d ) / 2*a, (-b - sqrt d ) / 2*a)

Expresiones Lambda

Uso Básico

por2 :: Integer -> Integer
por2 = (\ x -> x*2 )
(\x -> x+1) 8
9

Pasaje de una expresión Lambda como parámetro a una función (es como pasar una función)

infix 1 ==>
(==>) :: Bool -> Bool -> Bool
True ==> x = x;
False ==> x = True;

infix 1 <=>
(<=>) :: Bool -> Bool -> Bool
x <=> y = x == y
infixr 2 <+>
(<+>) :: Bool -> Bool -> Bool
x <+> y = x /= y

{- Equivalencias logicas -}
logEquiv1 :: (Bool -> Bool) -> (Bool -> Bool) -> Bool
logEquiv1 bf1 bf2 = (bf1 True <=> bf2 True) && (bf1 False <=> bf2 False)

logEquiv2 :: (Bool -> Bool -> Bool) -> (Bool -> Bool -> Bool) -> Bool
logEquiv2 bf1 bf2 = and [(bf1 p q <=> bf2 p q) |    p <- [True, False],
                            q <- [True, False]]

logEquiv3 :: (Bool -> Bool -> Bool -> Bool) -> (Bool -> Bool -> Bool -> Bool) -> Bool
logEquiv3 bf1 bf2 = and [(bf1 p q r <=> bf2 p q r) |    p <- [True, False],
                            q <- [True, False],
                            r <- [True, False]]

{- Idempotencia -}
logEquiv1 (\p -> p) (\p -> p || p)
True

{- Doble Negación -}
logEquiv1 (\p -> p)  (\p -> not (not p))
True

{- De Morgan -}
logEquiv2 (\p q -> not (p && q)) (\p q -> not p || not q)
True

{- Contrareciproco -}
logEquiv2 (\p q -> p ==> q) (\p q -> not q ==> not p)
True

{- Distributiva -}
logEquiv3 (\p q r -> (p || q) && r) (\p q r -> (p && r) || (q && r))
True

Expresiones mas complejas

every , some :: [a] -> (a -> Bool) -> Bool
every xs p = all p xs
some xs p = any p xs

(\x -> some [1,2,3] (\y -> x==y^2)) {-  Verifica si un numero es el cuadrado de 1, 2 o 3 -}
(\x -> some [1,2,3] (\y -> x==y^2)) 4
True

:t (\x -> some [1,2,3] (\y -> x==y^2))
(\x -> some [1,2,3] (\y -> x==y^2)) :: (Num a) => a -> Bool

every [1,4,9] (\x -> some [1,2,3] (\y -> x==y^2))
True

List comprehension, And, Or

{- valid 3 por List comprehension -}
valid3 :: (Bool -> Bool -> Bool -> Bool) -> Bool
valid3 bf = and [ bf p q r |    p <- [True, False],
                q <- [True, False],
                r <- [True, False] ]
{- and es Conjuncion generalizada sobre una lista (Retorna True si todos son True),
p <- Es List Comprehension

:t and
and :: [Bool] -> Bool

Existe tambien or que es Disyunción generalizada sobre la lista. (Retorna True si al menos uno es True)
-}

Otra forma.

[ x | x <- [1..10], prime (x+5)]
[2,6,8]

Composición de Funciones

por3 :: Int -> Int
por3 x = x*3

divisiblePor2 :: Int -> Bool
divisiblePor2 x = rem x  2 == 0

:t (divisiblePor2 . por3)
(divisiblePor2 . por3) :: Int -> Bool

(divisiblePor2 . por3) 4
True

(divisiblePor2 . por3) 5
False

Referencias

Capitulo 1,2,3 de The Haskell Road To Logic, Math and Programming; Doets, Van Eijck; King´s College London Publications; 2004