Definiciones Básicas

Experimento Aleatorio: Experimento cuyo resultado no puede predecirse con exactitud.

S: Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

EJ: Experimento: arrojar 2 veces una moneda de 2 caras

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (c,c)}

Punto Muestral: cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Suceso o Evento: subconjunto de puntos del espacio muestral.

Suceso Imposible o nulo: no ocurrirá con total seguridad.

Probabilidad de Laplace

Es a priori, no experimental.

Si un experimento admite N resultados posibles, todos ellos equiprobables entonces:

P(A) = $\frac{F}{N}$= $\frac{\mathrm{Casos}\mathrm{Favorables}}{\mathrm{Casos}\mathrm{Posibles}}$

Desventajas:

• Resultados pueden no ser equiprobables
• Numero de casos debe ser finito
• No siempre se conocen los casos favorables

Probabilidad de Von Misses o de la Probabilidad Frecuencial

Es a posteriori, luego de un experimento.

EJ: Se toma un dado cargado y buscamos la probabilidad de que salga el número 2. Se realiza el experimento un número n de veces y observamos la cantidad de resultados favorables f_r (Frecuencia absoluta del suceso).

$f_r$ = $\frac{f_i}{n}$= $\frac{\mathrm{número}\mathrm{de}\mathrm{exitos}}{\mathrm{número}\mathrm{de}\mathrm{pruebas}}$

Ley de los grandes números o convergencia estocástica de las frecuencias relativas

Al aumentar las pruebas las frecuencias relativas tenderán a estabilizarse alrededor de un determinado valor.

P(A) = $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_r$ = $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f_a}{n}$

Clasificación de Sucesos

Sucesos mutuamente excluyentes: La ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro.
P(A ∩ B) = 0
Sucesos no excluyentes o conjuntos: pueden ocurrir simultaneamente.
P(A ∩ B) != 0
Sucesos exhaustivos: Su unión es equivalente a S
P(A) + P(B) + … = P(S) = 1
A ∪ B ∪ … =

Definición Axiomatica de Probabilidad

Sean:
S espacio muestral
E un experimento aleatorio
A un suceso ∈ S en E

entonces P(A) es una función del tipo P(A): A -> (0,1)

Caracteristicas

0 <= P(A) <= 1
P(S) = 1
Sean A, B dos sucesos mutuamente excluyentes => P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Teorema de la suma de Probabilidades

P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1 - P($\stackrel{\_}{A}$ ∩ $\stackrel{\_}{B}$ )
NOTA: Pensar en Cardinalidad de conjuntos cuando se piensa P( A ∪ B).
Nota: ∪ puede pensarse en este caso como ⊻ y ∩ como ∧, si se utiliza la notación P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

EJ: Probabilidad de sacar una carta de un maso que sea o un 4 o un oro = P(4) + P(oro) - P(4 de oros)

P( A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Teorema del Producto de Probabilidades

Sea S un espacio muestral y A,B dos sucesos pertenecientes a S. La probabilidad de que ocurran A y B simultanea o sucesivamente en 2 REPETICIONES de un experimento es.

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(B/A)

Probabilidad condicional: P(A/B) = Probabilidad de que ocurra A dado la ocurrencia previa (o simultanea) de B

P(A/B) = $\frac{P\left(A\bigcap B\right))}{P\left(B\right)}$

EJ: Se tira un dado 2 veces,

a) cual es la probabilidad de que la suma sea 8.

Evento(suma 8 ) = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} = 5 posibilidades.

Total de combinacines de 2 dados = 6²= 36

P(suma 8 ) = $\frac{5}{36}$

Hasta aqui nos manejamos con los conceptos de Laplace.

b) Cuál es la probabilidad de que si la suma dio 8 que el primer resultado haya sido 3?

A ojo se puede ver que solamente una (3,5).

P(3 en la primer tirada) = $\frac{1}{5}$

Pero lo vamos a hacer correctamente:

Evento(suma 8 ) = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}
Evento(primer resultado fue 3) = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) }
E(suma 8 ) ∩ E(primer 3) = {(3,5)}

Para sucesos independientes

Si los sucesos son independientes, la formula se reduce a:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Diagramas de Carol

∩	A	$\stackrel{\_}{A}$	TOTAL
B	A ∩ B	$\stackrel{\_}{A}$ ∩ B	B
$\stackrel{\_}{B}$	A ∩ $\stackrel{\_}{B}$	$\stackrel{\_}{A}$ ∩ $\stackrel{\_}{B}$	$\stackrel{\_}{B}$
TOTAL	A	$\stackrel{\_}{A}$

EJ: Sea A y B dos eventos sobre un expacio muestral con los siguientes valores

∩	A	$\stackrel{\_}{A}$	TOTAL
B	10	18	38
$\stackrel{\_}{B}$	30	342	362
TOTAL	40	360	400

P(A) = 40/400 = 1/10

P(B/A) = 10/40 = 1/4
desarrollando la formula
P(B/A) = $\frac{P\left(A\bigcap B\right)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\frac{10}{400}}{\frac{40}{400}}$= 1/4

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = $\frac{40}{400}$. $\frac{10}{40}$= $\frac{10}{400}$= 1/40

Nota: los valores surgen directamente de la tabla.

Muestras sin reposición

Supongamos un conjunto U de tamaño 50. Este esta dividido en 2 subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos sobre U que llamaremos A y B, La cardinalidad de A=10 y la de B=40. O lo que es lo mismo sea E el evento de seleccionar un elemento de U => P(A) = 1/5 y P(B) = 4/5 tal que P(S) = P(A) + P(B) = 1.

Consideraremos ahora una serie de eventos: E₁, E₂ , E₃, E_… en el que en cada evento se toma un elemento de U pero no se lo repone. De esta manera la cardinalidad de U decrece en 1 por cada evento realizado y se modifica el espacio muestral y tambien se modifican luego de cada evento P(A) y P(B).

Por ejemplo: supongamos que E₁toma un elemento de A entonces Para E₂: P(A) 9/49 y P(B) = 40/49

que posibilidad hay de que el proximo evento E₂sea de nuevo A. En simbolos:

P(E₂ / E₁) = $\frac{10}{50}$. $\frac{9}{49}$

P(ABBA) = $\frac{10}{50}$. $\frac{40}{49}.\frac{39}{48}.\frac{9}{47}$

Teorema de la Probabilidad Total

Sea un espacio muestral S dividido en 2 sucesos A₁ y A₂ tal que: P(A₁ ∩ A₂) = 0 (Son mutuamente excluyentes), $\sum P\left(A_i\right)$$=1\left(\mathrm{forman}\mathrm{un}\mathrm{sistema}\mathrm{exhaustivo}\right).$

Conjuntamente sobre S puede darse un suceso D conjuntamente con A₁ o A₂. Es evidente que P(A₁ ∩ D) y P(A₂ ∩ D) son mutuamente excluyentes.

P(D) = $\sum P(A_i$) . P( D / A_i)

Ej: A,B,C forman un sistema exhaustivo sobre el espacio muestra S y son mutuamente excluyentes.

P(A)=45%, P(B)=32%, P(C)=23%

Para A, D=4%, para B, D=6% y para C, D=2,5%

P(D) = P(A) . P(D/A) + P(B) . P(D/B) + P(C) . P(D/C)

P(D) = 0.45 x 0.04 + 0.32 x 0.06 + 0.23 x 2.5 = 0.043 o 0.43%

Nota: Se puede plantear con arboles

Teorema de Bayes o Teorema de la probabilidad de las causas

Sean A_isucesos excluyentes y exhaustivos, D un suceso tal que P(D) > 0 y se conocen P(D/A_i) y P(A_i).

P(A_k/D) = $\frac{P\left(A_k\bigcap D\right)}{P\left(D\right)}$ = $\frac{P\left(A_k\right).P\left(D/A_k\right)}{\sum _{i}P\left(A_i\right).P\left(D/A_i\right)}$

Esperanza Matematica

En una distribución de probabilidades del tipo:

Xi	P( Xi )
0	$\text{P( 0 )}$
1	$\text{P( 1 )}$
2	$\text{P( 2 )}$
…..	…….
TOTAL	1 o 100%

Donde la sumatoria de todas las $\text{P(}X{ }_i)$ = 1 o 100%.
Se define la esperanza matematica como:

E = $\sum X_{i}P\left(X_i\right)$

Referencias

Apuntes de clase de Estadí­stica 1, Conceptos Teóricos y Ejemplos. M. Cattaneo, S. Diez, Universidad de Palermo, 2007.