Esta demostración maravillosa que esta en el ejercicio 3.7.9 del libro How to Prove It: A Structured Approach, que la transcribo directamente porque es fantástica.

Teorema: Existen 2 números Irracionales a,b tales que a^b es racional.

Demostración: O ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$es racional o es irracional.

Caso 1: Si es racional, ya se probo lo que queríamos probar porque $\sqrt{2}$es irracional y tomamos a=b=$\sqrt{2}$ .

Caso 2: Si es irracional entonces sea a = ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$y b = $\sqrt{2}$. Entonces podemos formar el numero ${\left({\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}.\sqrt{2}}$= ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$. Como $\sqrt{2}$es irracional, ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$es irracional por asumción de caso y 2 es racional, el Teorema queda demostrado.

Lo maravilloso es que llegamos a una demostración rigurosa del teorema sin necesidad de saber si  ${\left(\sqrt{2}\right)}^{\sqrt{2}}$es irracional o no. Simplemente por exhaustación de casos el teorema queda demostrado.
Nota: es irracional, lo que igual no quita lo maravilloso de la demostración y lo impecable de su lógica.