Resolución del ejercicio 3.41 de The Haskell Road To Logic, Math and Programming. Demostrar que 2^{n - 1} ( 2ⁿ- 1 ) es un numéro perfecto ( la suma de todos sus divisores propios es igual al mismo número ) si ( 2ⁿ- 1 ) es primo ( un primo de mersenne en realidad ). Como es primo se puede descomponer en los siguientes divisores propios:

2^{n - 1} ( 2ⁿ- 1 ) = 1 + 2 + 2² + …. + 2^{n - 1} + ( 2ⁿ- 1 ) + 2.( 2ⁿ-1 ) + 2².( 2ⁿ-1 ) + …. + 2^{n - 2}.( 2ⁿ-1 )

= 1 + 2 + 2² + …. + 2^{n - 1} + ( 2ⁿ- 1 ) + ( 2^{n + 1} -2 ) + ( 2^{n + 2} - 2² ) + …. + ( 2^{2n - 2} - 2^{n - 2})
Realizando las multiplicaciones de los terminos del final.

= 2^{n - 1} + 2ⁿ + 2^{n + 1} +  2^{n + 2} + …. + 2^{2n - 2}
Simplificando terminos equivalentes pero negativos.

= 2^{n - 1} ( 1 + 2 + 2² + …. + 2^{n - 1} )
Por propiedades de la exponenciación.

= 2^{n - 1}( 2  - 1 + 2 + 2² + …. + 2^{n - 1} )
Porque 2 - 1 = 1

Y es exactamente acá donde la cosa se pone interesante.  Ya logre 2^{n - 1} y el - 1 en el segundo termino. Pero me queda demostrar que ( 2 +2 + 2² + …. + 2^{n - 1} ) = 2ⁿ .

En principio no parece demasiado complicado.. digamos:

2 + 2 = 4 = 2²

2² + 2² = 8 = 2³

2³ + 2³ = 16 = 2⁴

…….

2^{n - 1} + 2^{n - 1} = 2ⁿ

Que se puede probar fácilmente por inducción completa.

2ⁿ = 2^{n - 1} + 2^{n - 1}
1) Demostrarlo para n = 1, es trivial: 2 = 1 +1.

2) 2ⁿ = 2^{n - 1} + 2^{n - 1} => 2^{n + 1} = 2ⁿ + 2ⁿ
2ⁿ + 2ⁿ = 2.(2^{n - 1} + 2^{n - 1}) = 2.2ⁿ (Por hipotesis) =  2^{n + 1}

Ahora, en el texto todavía no vimos inducción y hay un capitulo entero dedicado al tema. El tema es como probar esto sin usar inducción completa. Ni la más puta idea.

DUH! Agregado ( 1 mes después releyendo mi post y sorprendiéndome por mi absoluta falta de lucidez al momento de escribirlo )

2^{n - 1} + 2^{n - 1} = 2. (2^{n - 1}) = 2ⁿ