Se nos pide demostrar si hay o no hay triplos de primos de la forma ( p , p+2, p+4 ) que no sean ( 3, 5, 7 ). Este ejercicio me gusto porque estuve unos 15 minutos pensando antes de poder resolverlo. Bueno, despues de mirar un poco la Criba de Eratosthenes y pensar en la aritmetica mod( 3 ) finalmente encontre la forma:

Demostración

Sabemos que p es primo por lo tanto no es multiplo de 3, o sea que es o de la forma 3k + 1 o 3k + 2 con k ∈ Z. Supongamos que es de la forma 3k + 1, entonces p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3 ( k + 1 ) entonces p + 2 es multiplo de 3 y no es primo. Ahora si es de la forma 3k + 2 entonces p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3 ( k + 2) por lo que p + 4 es multiplo de 3 y no es primo. De lo que sigue que no existen triplos de primos de la forma ( p, p+2, p+4 ) salvo ( 3, 5, 7 ).

De manera similar puede resolverse el ejercicio 3.43, que es demostrar que siendo p primo, no existen primos de la forma ( p² + 2 ) ≠ 11 o lo que es lo mismo con p ≠ 3 .

Demostración

Si p es primo ≠ 3 , entonces necesariamente no es multiplo de 3, o sea que es de la forma 3k + 1 o 3k + 2 con k ∈ Z. Supongamos que es de la forma 3k + 1, entonces p² + 2 = ( 9k² + 6k + 1) + 2 = 3 ( 3k² + 2k + 1 ) , porque lo que es multiplo de 3 y no es primo. Supongamos entonces que es de la forma 3k + 2, entonces p² + 2 = ( 9k² + 12k + 4) + 2 = 3 ( 3k² + 4k + 2 ), multiplo de 3 y no primo. Por exhaustación de casos, la proposición queda demostarda.

Bueno termine con el cápitulo 3, si alguién tiene la solución del ejercicio 3.34 me haría un favor enorme si me lo mandan porque estuve un buen rato y no lo pude resolver. Mierda, me gustaría poder dedicarle más tiempo, pero si me cuelgo no avanzo más y quiero seguir aprendiendo Haskell.