Hace unos días me encontre en el medio de una demostración sobre propiedades de los limites con la siguiente formula:

1 - qⁿ = ( 1 - q ) ( 1 + q¹ + q² + …. + q^n-1)

Lo interesante es que lo daba como un hecho ya establecido. Como nunca me habia encontrado con esa formula, decidi investigarla un poco. En principio, parece bastante lógico, ya que si multiplicamos en el segundo termino 1 por la seguna secuencia nos queda una serie de terminos positivos  1 + q + q² + …. + q^n-1   y al multiplicar el -q por la segunda secuencia nos queda  -q  - q² - q³  …. - qⁿ . Con lo cual salvo el primer 1 y el ultimo - qⁿ todo el resto de los terminos se anulan entre si. Ej:

( 1 - q ) ( 1 + q + q² + …. + q^n-1) = ( 1 + q¹ + q² + …. + q^n-1) + ( - q¹  - q² … - q^n-1 -  qⁿ) = 1 + q¹ - q¹ + q² - q² + …. + q^n-1 - q^n-1 -  qⁿ  =  1 - qⁿ

Esa es una buena explicación, pero sin embargo la propiedad ( así como estaba formulada ) no se cumple para n=1:

( 1 - q ) .(1 + q^n-1) = ( 1 - q ) ( 2 ) =  2 -2q ≠ ( 1 - q¹)

Entonces habría que reformular la propiedad:

∀n ϵ N, n > 2:  1 - qⁿ = ( 1 - q ) ( 1 + q + q² + …. + q^n-1 )

Y la demostración por Inducción Completa sería:

1) Primer paso, probarlo para n = 2.

1 - q² = ( 1 - q ) ( 1  + q^n-1 )  = ( 1 + q) + ( - q - q² ) = ( 1 - q² )

2) Paso inductivo:.

1 - qⁿ⁺¹ = ( 1 - q ) ( 1 + q¹ + q² + …. + q^n-1 + qⁿ)

Por multiplicación entre polinomios queda:

= ( 1 + q¹ + q² + …. + q^n-1 + qⁿ ) + ( - q¹  - q² … - q^n-1 -  qⁿ -  qⁿ⁺¹)

Por conmutatividad de + en R:
= ( 1 + q¹ + q² + …. + q^n-1 ) + ( - q¹  - q² … - q^n-1 -  qⁿ ) + qⁿ -  qⁿ⁺¹   

Por hipotesis queda:

= (1 - qⁿ) + qⁿ -  qⁿ⁺¹

Simplicando las sumas y restas queda:

= 1 -  qⁿ⁺¹

Con lo cual queda demostrada la propiedad.  

Nota: Es interesante pensar que teniendo en cuenta que  ∀ q ∈ R: q⁰= 1 , si se reformula la propiedad de la siguiente forma :

1 - qⁿ = ( q⁰ + q¹ + q² + …. + q^n-1 )

Si se cumple para n = 1 .