En el ejercicio 3.21.12 del libro Algebra I de Armando Rojo, se nos pide demostrar por inducción completa que:

3 / 8n - 5n o lo que es lo mismo 8n - 5n = 3k; k ∈ Z .

Lo interesante es que cuando curse Algebra y Matematica Discreta había un ejercicio bastante similar ( Demostrar que 5 / 7n - 2n).  Se me ocurrio entonces que la demostración podía generalizarse.

Demostración Inicial: 3 / 8n - 5n

1) Primer paso demostrar para n=1

3 / 8 -5 => 3 / 3
Lo cual es evidentemente cierto.

2) Paso Inductivo:
8n - 5n = 3k; k ∈ Z => 8n+1 - 5n+1 = 3w; w ∈ Z

Demostración:

3 / 8n+1 - 5n+1 => 8n+1 - 5n+1 = 3k; k ∈ Z

8n+1 - 5n+1 = 8 . 8n - 5 . 5n
Por Propiedades de la exponenciación.

= ( 3 + 5 ). 8n - 5 . 5n    
Porque 8 = 3 + 5.

= 3 .8n + 5. 8n + - 5 . 5n
Por distributividad.

= 3 .8n + 5. ( 8n - 5n )
Por dirtributividad.

= 3 .8n + 5. ( 3.k )
Por hipotesis.

= 3 ( 8n + 5k )    
Por Distributividad:

Como ( 8n + 5k ) ∈ Z ; queda demostrada la proposición inicial.

Demostración generalizada: Sean a,b,c ∈ Z; a = b -c se cumple que a / bn - cn

1) Primer paso demostrar para n=1

b1 - c1 = a         (Por Definicion de a,b,c)

2) Paso Inductivo:
bn - cn = ak; k ∈ Z => bn+1 - cn+1 = aw; w ∈ Z

Demostración:

a / bn+1 - cn+1 => bn+1 - cn+1 = ak; k ∈ Z

bn+1 - cn+1 = b . bn - c . cn
Por Propiedades de la exponenciación.

= ( a + c ). bn - c . cn
Porque a = b - c => b = a + c

=  a. bn + c .bn - c . cn
Por distributividad.

= a .bn + c. ( bn - cn )
Por dirtributividad

= a .bn + c. ( a.k )
Por hipotesis.

= a ( bn + ck )
Por Distributividad.

Como ( bn + ck ) ∈ Z queda demostrada la proposición.

Referencias

Algebra I; Rojo, Armando; 21ª ed, Magister Eos; 2006