Demostrar que si a es par <=> a² es par

Como es doble implicación tengo que demostrar: 1) a es par => a² es par ∧  2) a² es par => a es par

1) a es par => a² es par

a es par => a = 2k; k ∈ Z => a² = ( 2k )² => a² = 4k² => a² = 2( 2k² )
Como ( 2k² ) ∈ Z => a² es par.

2) a² es par => a es par

Para esta parte de la demostración se usa el contrareciproco. ( p => q ≡ ¬q => ¬p )

a² es par => a es par ≡ a es impar => a² es impar

a es impar => a = 2k +1; k ∈ Z => a² = ( 2k+ 1 )² => a² = 4k² + 4k + 1 => a² = 2( 2k² + 2k ) + 1
Como ( 2k² + 2k ) ∈ Z => a² es impar y la proposición queda demostrada.

Demostrar que el producto de 2 números consecutivos es par.

El producto de dos números consecutivos puede escribirse como a.( a+1 ). La demostración es por exhaustación de casos.

1) Supongamos que a es par

a es par => a = 2k; k ∈ Z => a. ( a + 1) = 2k . ( 2k + 1)
Como k . ( 2k  + 1 ) ∈ Z => a. ( a + 1)  es par.

2) Supongamos que a es impar

a es impar => a = 2k + 1; k ∈ Z => a. ( a + 1) => 2k + 1. ( 2k + 1 + 1) = 2k +1 . ( 2k + 2 ) = ( 2k + 1) . 2 (k + 1) = 2 ( 2k + 1) . (k + 1)
Como ( 2k + 1) . (k + 1) ∈ Z => a. ( a + 1)  es par.

Demostrar que si p es primo y p / a.b => p/a ∨ p/b

Es una implicación que tiene una disyunción en la conclusión.

Supongamos que p/a, entonces listo no queda nada que demostrar.

Ahora si ¬(p/a) => p y a son coprimos o sea que ( p ; a ) = 1 => ∃ n; s ∈ Z / p.n + a.s = 1

Como p/a.b => a.b = pk; k ∈ Z
Tomamos:
p.n + a.s = 1

Multiplicamos ambos terminos por b:
b.p.n + a.b.s = b

Sustituimos a.b por p.k:
b.p.n + p.k.b.s = b

Despejamos p:
p (bn + kbs) = b

Como (bn + kbs) ∈ Z, queda demostrado que p/b y por exhaustación de casos queda demostrado que si p es primo y p / a.b => p/a ∨ p/b .

Referencias

Apuntes de Clase de Algebra y Matemática Discreta cursada con Marcela Wilder en ella Universidad de Palermo, el segundo cuatrimestre de 2007